Potenziale di velocità

Un potenziale di velocità è un potenziale scalare utilizzato nella teoria del potenziale flusso. Fu introdotto da Joseph-Louis Lagrange nel 1788.

È usato nella meccanica del continuum, quando un continuum occupa una regione semplicemente connessa ed è irrotazionale. In tal caso,

∇ × u = 0, {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {u} = 0 \ ,,}

dove u indica la velocità di flusso. Come risultato, u può essere rappresentato come il gradiente di una funzione Φ scalare:

u = ∇Φ = ∂Φ∂xi + ∂Φ∂yj + ∂Φ∂zk. {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ Phi \ = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ mathbf {k} \ ,.}

Φ è noto come un potenziale di velocità per u.

Un potenziale di velocità non è unico. Se Φ è un potenziale di velocità, allora Φ + a ( t ) è anche un potenziale di velocità per u , dove a ( t ) è una funzione scalare del tempo e può essere costante. In altre parole, i potenziali di velocità sono unici fino a una costante, o una funzione esclusivamente della variabile temporale.

Se un potenziale di velocità soddisfa l'equazione di Laplace, il flusso è incomprimibile; si può verificare questa affermazione, ad esempio, sviluppando ∇ × (∇ × u ) e usando, grazie al teorema di Clairaut-Schwarz, la commutazione tra il gradiente e gli operatori laplaciani.

A differenza di una funzione di corrente, un potenziale di velocità può esistere in flusso tridimensionale.

Uso in acustica

In acustica teorica, è spesso desiderabile lavorare con l'equazione delle onde acustiche del potenziale di velocità Φ invece della pressione p e / o della velocità delle particelle u .

∇2Φ − 1c2∂2Φ∂t2 = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} { \ partial t ^ {2}}} = 0}

Risolvere l'equazione delle onde per il campo p o u non fornisce necessariamente una risposta semplice per l'altro campo. D'altra parte, quando Φ è risolto per, non solo è u trovato come sopra, ma p è anche facilmente reperibile - dalla (linearizzato) Bernoulli per moto irrotazionale e instabile - come

p = −ρ∂Φ∂t. {\ displaystyle p = - \ rho {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ ,.}

Appunti