Scattering length

La lunghezza di scattering nella meccanica quantistica descrive lo scattering a bassa energia. È definito come il seguente limite di bassa energia:

limk → 0kcot⁡δ (k) = - 1a, {\ displaystyle \ lim _ {k \ to 0} k \ cot \ delta (k) = - {\ frac {1} {a}} \ ;,}

dove uno {\ displaystyle a} è la lunghezza di scattering, k {\ displaystyle k} è il numero d'onda e δ (k) {\ displaystyle \ delta (k)} è lo sfasamento dell'onda sferica in uscita. La sezione elastica, σe {\ displaystyle \ sigma _ {e}}, a basse energie è determinata esclusivamente dalla lunghezza di scattering:

limk → 0σe = 4πa2. {\ displaystyle \ lim _ {k \ to 0} \ sigma _ {e} = 4 \ pi a ^ {2} \ ;.}

Concetto generale

Quando una particella lenta si disperde da un dispersore a corto raggio (ad esempio un'impurità in una particella solida o pesante) non può risolvere la struttura dell'oggetto poiché la sua lunghezza d'onda de Broglie è molto lunga. L'idea è che quindi non dovrebbe essere importante quale potenziale preciso V (r) {\ displaystyle V (r)} si disperda, ma solo come il potenziale appare su lunghe scale. Il modo formale per risolvere questo problema è fare un'espansione parziale dell'onda (in qualche modo analoga all'espansione multipolare nell'elettrodinamica classica), dove si espande nelle componenti del momento angolare dell'onda in uscita. A energia molto bassa la particella in arrivo non vede alcuna struttura, quindi al più basso ordine si ha solo un'onda sferica in uscita, chiamata onda s in analogia con l'orbitale atomico al momento angolare numero quantico l = 0. Alle energie più elevate si deve anche considerare la dispersione dell'onda p e d ( l = 1,2) e così via.

L'idea di descrivere le proprietà a bassa energia in termini di alcuni parametri e simmetrie è molto potente ed è anche alla base del concetto di rinormalizzazione.

Esempio

Come esempio su come calcolare la lunghezza di scattering dell'onda s (cioè il momento angolare l = 0 {\ displaystyle l = 0}) per un dato potenziale, osserviamo il potenziale sferico infinitamente repulsivo del raggio r0 {\ displaystyle r_ {0 }} in 3 dimensioni. L'equazione di Schrödinger radiale (l = 0 {\ displaystyle l = 0}) al di fuori del pozzo è la stessa di una particella libera:

−ℏ22mu ″ (r) = Eu (r), {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} u '' (r) = Eu (r),}

dove il potenziale hard core richiede che la funzione d'onda u (r) {\ displaystyle u (r)} svanisca in r = r0 {\ displaystyle r = r_ {0}}, u (r0) = 0 {\ displaystyle u (r_ {0}) = 0}. La soluzione è facilmente reperibile:

u (r) = Asin⁡ (kr + δs) {\ displaystyle u (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s})}.

Qui k = 2mE / ℏ {\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar} e δs = −k⋅r0 {\ displaystyle \ delta _ {s} = - k \ cdot r_ {0}} è il sfasamento dell'onda s (differenza di fase tra onda in entrata e in uscita), che è fissato dalla condizione al contorno u (r0) = 0 {\ displaystyle u (r_ {0}) = 0}; Un {\ displaystyle A} è una costante di normalizzazione arbitraria.

Si può dimostrare che in generale δs (k) ≈ − k⋅as + O (k2) {\ displaystyle \ delta _ {s} (k) \ approx -k \ cdot a_ {s} + O (k ^ {2} )} per k piccolo {\ displaystyle k} (ovvero scattering a bassa energia). Il parametro come {\ displaystyle a_ {s}} della lunghezza della dimensione è definito come la lunghezza di scattering . Per il nostro potenziale abbiamo quindi a = r0 {\ displaystyle a = r_ {0}}, in altre parole la lunghezza di dispersione per una sfera dura è solo il raggio. (In alternativa si potrebbe dire che un potenziale arbitrario con lunghezza di scattering dell'onda s come {\ displaystyle a_ {s}} ha le stesse proprietà di scattering a bassa energia di una sfera dura del raggio di {\ displaystyle a_ {s}}.) la lunghezza di scattering a osservabili fisici che possono essere misurati in un esperimento di scattering dobbiamo calcolare la sezione trasversale σ {\ displaystyle \ sigma}. Nella teoria dello scattering si scrive la funzione d'onda asintotica come (supponiamo che ci sia un dispersore a distanza finita all'origine e che vi sia un'onda del piano in arrivo lungo l'asse z {\ displaystyle z}):

ψ (r, θ) = eikz + f (θ) eikrr {\ displaystyle \ psi (r, \ theta) = e ^ {ikz} + f (\ theta) {\ frac {e ^ {ikr}} {r} }}

dove f {\ displaystyle f} è l'ampiezza di scattering. Secondo l'interpretazione di probabilità della meccanica quantistica la sezione trasversale differenziale è data da dσ / dΩ = | f (θ) | 2 {\ displaystyle d \ sigma / d \ Omega = | f (\ theta) | ^ {2}} ( la probabilità per unità di tempo di disperdersi nella direzione k {\ displaystyle \ mathbf {k}}). Se consideriamo solo la diffusione dell'onda s la sezione trasversale differenziale non dipende dall'angolo θ {\ displaystyle \ theta} e la sezione trasversale di dispersione totale è solo σ = 4π | f | 2 {\ displaystyle \ sigma = 4 \ pi | f | ^ {2}}. La parte s-wave della funzione d'onda ψ (r, θ) {\ displaystyle \ psi (r, \ theta)} viene proiettata usando l'espansione standard di un'onda piana in termini di onde sferiche e polinomi di Legendre Pl (cos⁡ θ) {\ displaystyle P_ {l} (\ cos \ theta)}:

eikz≈12ikr∑l = 0∞ (2l + 1) Pl (cos⁡θ) {\ displaystyle e ^ {ikz} \ approx {\ frac {1} {2ikr}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} (2l + 1) P_ {l} (\ cos \ theta) \ left}

Abbinando il componente l = 0 {\ displaystyle l = 0} di ψ (r, θ) {\ displaystyle \ psi (r, \ theta)} alla soluzione dell'onda s ψ (r) = Asin⁡ (kr + δs ) / r {\ displaystyle \ psi (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s}) / r} (dove normalizziamo A {\ displaystyle A} in modo tale che l'onda in arrivo eikz {\ displaystyle e ^ {ikz }} ha un prefattore di unità) uno ha:

f = 12ik (e2iδs − 1) ≈δs / k≈ − as {\ displaystyle f = {\ frac {1} {2ik}} (e ^ {2i \ delta _ {s}} - 1) \ approx \ delta _ {s} / k \ circa -a_ {s}}

Questo da:

σ = 4πk2sin2⁡δs = 4πas2 {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ delta _ {s} = 4 \ pi a_ {s} ^ {2}}