base di conoscenza
CTRL+F per cercare la tua parola chiave

Problema Rabi

problema nell'ottica quantistica

Il problema di Rabi riguarda la risposta di un atomo a un campo elettrico armonico applicato, con una frequenza applicata molto vicina alla frequenza naturale dell'atomo. Fornisce un esempio semplice e generalmente risolvibile di interazioni luce-atomo.

Problema Rabi classico

Nell'approccio classico, il problema di Rabi può essere rappresentato dalla soluzione dell'oscillatore armonico smorzato guidato con la parte elettrica della forza di Lorentz come termine guida:

x¨a + 2τ0x˙a + ωa2xa = emE (t, ra) {\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {a} + {\ frac {2} {\ tau _ {0}}} {\ dot { x}} _ {a} + \ omega _ {a} ^ {2} x_ {a} = {\ frac {e} {m}} E (t, \ mathbf {r} _ {a})},

dove è stato ipotizzato che l'atomo possa essere trattato come una particella carica (di carica e ) che oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio attorno ad un atomo neutro. Qui, xa è la sua magnitudine istantanea di oscillazione, ωa {\ displaystyle \ omega _ {a}} la sua frequenza di oscillazione naturale e τ0 {\ displaystyle \ tau _ {0}} la sua durata naturale:

2τ0 = 2e2ωa23mc3 {\ displaystyle {\ frac {2} {\ tau _ {0}}} = {\ frac {2e ^ {2} \ omega _ {a} ^ {2}} {3mc ^ {3}}} },

che è stato calcolato in base alla perdita di energia dell'oscillatore dipolo dalle radiazioni elettromagnetiche.

Per applicare questo al problema di Rabi, si presume che il campo elettrico E sia oscillatorio nel tempo e costante nello spazio:

E = E0 {\ displaystyle E = E_ {0}}

e xa è scomposto in una parte ua che è in fase con il campo E di pilotaggio (corrispondente alla dispersione) e una parte va che è fuori fase (corrispondente ad assorbimento):

xa = x0 (uacos⁡ωt + vasin⁡ωt) {\ displaystyle x_ {a} = x_ {0} (u_ {a} \ cos \ omega t + v_ {a} \ sin \ omega t)}

Qui, si presume che x0 sia costante, ma ua e va possono variare nel tempo. Tuttavia, se assumiamo di essere molto vicini alla risonanza (ω≈ωa {\ displaystyle \ omega \ approx \ omega _ {a}}), allora questi valori varieranno lentamente nel tempo e possiamo ipotizzare che tu a≪ωua {\ displaystyle {\ dot {u}} _ {a} \ ll \ omega u_ {a}}, v˙a≪ωva {\ displaystyle {\ dot {v}} _ {a} \ ll \ omega v_ {a}} e u¨a≪ω2ua {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {a} \ ll \ omega ^ {2} u_ {a}}, v¨a≪ω2va {\ displaystyle {\ ddot {v}} _ {a} \ ll \ omega ^ {2} v_ {a}}.

Con questi presupposti, le equazioni di forza di Lorentz per le parti in fase e fuori fase possono essere riscritte come,

u˙ = −δv − uT {\ displaystyle {\ dot {u}} = - \ delta v - {\ frac {u} {T}}} v˙ = δu − vT + κE0 {\ displaystyle {\ dot {v }} = \ delta u - {\ frac {v} {T}} + \ kappa E_ {0}}

dove abbiamo sostituito la durata naturale τ0 {\ displaystyle \ tau _ {0}} con una durata effettiva più generale T (che potrebbe includere altre interazioni come le collisioni) e abbiamo lasciato cadere il pedice a in favore del nuovo detuning δ = ω − ωa {\ displaystyle \ delta = \ omega - \ omega _ {a}}, che serve ugualmente bene per distinguere atomi di frequenze di risonanza diverse. Infine, è stata definita la costante κ {\ displaystyle \ kappa}:

κ = def emωx0 {\ displaystyle \ kappa \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {e} {m \ omega x_ {0}}}}

Queste equazioni possono essere risolte come segue:

u (t; δ) = e − t / T + κE0∫0tdt′sin⁡δ (t − t ′) e− (t − t ′) / T {\ displaystyle u (t; \ delta) = e ^ { -t / T} + \ kappa E_ {0} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ sin \ delta (t-t') e ^ {- (t-t ') / T}} v ( t; δ) = e − t / T − κE0∫0tdt′cos⁡δ (t − t ′) e− (t − t ′) / T {\ displaystyle v (t; \ delta) = e ^ {- t / T} - \ kappa E_ {0} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ cos \ delta (t-t') e ^ {- (t-t ') / T}}

Dopo che tutti i transitori sono scomparsi, la soluzione allo stato stazionario prende la forma semplice,

xa (t) = emE0 (eiωtωa2 − ω2 + 2iω / T + cc) {\ displaystyle x_ {a} (t) = {\ frac {e} {m}} E_ {0} \ left ({\ frac {e ^ {i \ omega t}} {\ omega _ {a} ^ {2} - \ omega ^ {2} + 2i \ omega / T}} + \ mathrm {cc} \ right)}

dove "cc" sta per il complesso coniugato del termine opposto.


Atomo a due livelli

Approccio Semiclassico

Vedi anche equazioni ottiche di Bloch

Il classico problema di Rabi fornisce alcuni risultati di base e un quadro del problema comprensibile, ma per comprendere fenomeni quali inversione, emissione spontanea e spostamento di Bloch-Siegert, è necessario un trattamento meccanico completamente quantico.

L'approccio più semplice è attraverso l'approssimazione dell'atomo a due livelli, in cui si tratta solo di due livelli di energia dell'atomo in questione. In realtà non esiste un atomo con solo due livelli di energia, ma una transizione tra, ad esempio, due stati iperfini in un atomo può essere trattata, alla prima approssimazione, come se esistessero solo quei due livelli, supponendo che l'unità non sia troppo lontana dalla risonanza .

La comodità dell'atomo a due livelli è che qualsiasi sistema a due livelli si evolve essenzialmente allo stesso modo di un sistema spin-1/2, secondo le equazioni di Bloch, che definiscono la dinamica del vettore pseudo-spin in un elettrico campo:

u˙ = −δv {\ displaystyle {\ dot {u}} = - \ delta v} v˙ = δu + κEw {\ displaystyle {\ dot {v}} = \ delta u + \ kappa Ew} w˙ = −κEv {\ displaystyle {\ dot {w}} = - \ kappa Ev}

dove abbiamo fatto l'approssimazione dell'onda rotante lanciando termini con alta velocità angolare (e quindi un piccolo effetto sulla dinamica di spin totale per lunghi periodi di tempo), e trasformati in un insieme di coordinate che ruotano a una frequenza ω {\ displaystyle \ omega} .

Esiste una chiara analogia tra queste equazioni e quelle che hanno definito l'evoluzione delle componenti di oscillazione in fase e fuori fase nel caso classico. Ora, tuttavia, esiste un terzo termine w che può essere interpretato come la differenza di popolazione tra lo stato eccitato e lo stato fondamentale (che varia da -1 per rappresentare completamente nello stato fondamentale a +1, completamente nello stato eccitato). Tieni presente che per il caso classico, c'era uno spettro di energia continuo che l'oscillatore atomico poteva occupare, mentre per il caso quantico (come abbiamo ipotizzato) ci sono solo due possibili (eigen) stati del problema.

Queste equazioni possono anche essere dichiarate sotto forma di matrice:

ddt = 0 − δ0δ0κE0 − κE0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ delta & 0 \\\ delta & 0 & \ kappa E \\ 0 & - \ kappa E & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}}}

È interessante notare che queste equazioni possono essere scritte come un'equazione di precessione vettoriale:

dρdt = Ω × ρ {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {\ rho}} {dt}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {\ rho}}

dove ρ = (u, v, w) {\ displaystyle \ mathbf {\ rho} = (u, v, w)} è il vettore pseudo-spin e Ω = (- κE, 0, δ) {\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = (- \ kappa E, 0, \ delta)} agisce come una coppia effettiva.

Come prima, il problema di Rabi è risolto ipotizzando che il campo elettrico E sia oscillatorio con magnitudine costante E0 : E = E0 (eiωt + cc) {\ displaystyle E = E_ {0} (e ^ {i \ omega t} + \ mathrm {cc})}. In questo caso, la soluzione può essere trovata applicando due rotazioni successive all'equazione matrice sopra, della forma

= cos⁡χ0sin⁡χ010 − sin⁡χ0cos⁡χ {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ chi & 0 & \ sin \ chi \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ chi & 0 & \ cos \ chi \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u '\\ v' \\ w '\ end {bmatrix}}}

e

= 1000cos⁡Ωtsin⁡Ωt0 − sin⁡Ωtcos⁡Ωt {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u '\\ v' \\ w '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ Omega t & \ sin \ Omega t \\ 0 & - \ sin \ Omega t & \ cos \ Omega t \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u '' \\ v '' \\ w '' \ end { bmatrix}}}

dove

tan⁡χ = δκE0 {\ displaystyle \ tan \ chi = {\ frac {\ delta} {\ kappa E_ {0}}}} Ω (δ) = δ2 + (κE0) 2 {\ displaystyle \ Omega (\ delta) = {\ sqrt {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2}}}}

Qui, la frequenza Ω (δ) {\ displaystyle \ Omega (\ delta)} è nota come frequenza Rabi generalizzata, che fornisce il tasso di precessione del vettore pseudo-spin attorno all'asse u trasformato (dato dal primo coordinare la trasformazione sopra). Ad esempio, se il campo elettrico (o laser) è esattamente in risonanza (tale che δ = 0 {\ displaystyle \ delta = 0}), allora il vettore pseudo-spin precesserà attorno all'asse u ad una velocità di κE0 { \ displaystyle \ kappa E_ {0}}. Se questo impulso (a risonanza) viene brillato su una raccolta di atomi originariamente tutti allo stato fondamentale ( w = -1 ) per un tempo Δt = π / κE0 {\ displaystyle \ Delta t = \ pi / \ kappa E_ {0 }}, quindi dopo l'impulso, gli atomi saranno ora tutti nel loro stato eccitato ( w = 1 ) a causa della rotazione π {\ displaystyle \ pi} (o 180 gradi) attorno all'asse u . Questo è noto come π {\ displaystyle \ pi} -pulse e ha il risultato di un'inversione completa.

Il risultato generale è dato da,

= (κE0) 2 + δ2cos⁡ΩtΩ2 − δΩsin⁡Ωt − δκE0Ω2 (1 − cos⁡Ωt) δΩsin⁡Ωtcos⁡ΩtκE0Ωsin⁡ΩtδκE0Ω2 (1 − cos⁡Ωt) −κE0Ω {2ct \ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {(\ kappa E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Omega ^ {2}}} & - {\ frac {\ delta} {\ Omega}} \ sin {\ Omega t} & - {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} { \ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) \\ {\ frac {\ delta} {\ Omega}} \ sin \ Omega t & \ cos \ Omega t & {\ frac {\ kappa E_ {0 }} {\ Omega}} \ sin \ Omega t \\ {\ frac {\ delta \ kappa E_ {0}} {\ Omega ^ {2}}} (1- \ cos \ Omega t) & - {\ frac {\ kappa E_ {0}} {\ Omega}} \ sin {\ Omega t} & {\ frac {\ delta ^ {2} + (\ kappa E_ {0}) ^ {2} \ cos \ Omega t} {\ Omega ^ {2}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {0} \\ v_ {0} \\ w_ {0} \ end {bmatrix}}}

L'espressione per l'inversione w può essere notevolmente semplificata se si presume che l'atomo si trovi inizialmente nel suo stato fondamentale ( w0 = -1 ) con u0 = v0 = 0 , nel qual caso,

w (t; δ) = - 1 + 2 (κE0) 2 (κE0) 2 + δ2sin2⁡ (Ωt2) {\ displaystyle w (t; \ delta) = - 1 + {\ frac {2 (\ kappa E_ {0 }) ^ {2}} {(\ \ kappa E_ {0}) ^ {2} + \ delta ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Omega t} {2}} \giusto)}


Problema di Rabi nella teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo

Nell'approccio quantistico, la forza trainata periodica può essere considerata come perturbazione periodica e, quindi, può essere risolta usando la teoria della perturbazione dipendente dal tempo

H (t) = H0 + H1 (t) {\ displaystyle H (t) = H ^ {0} + H ^ {1} (t)}

dove H0 {\ displaystyle H ^ {0}} è il hamiltoniano indipendente dal tempo che fornisce le origini originali e H1 (t) {\ displaystyle H ^ {1} (t)} è la perturbazione dipendente dal tempo. Supponiamo che al momento t {\ displaystyle t}, possiamo espandere lo stato nel seguente modulo

ϕ (t) = ∑ndn (t) e − iEnt | n⟩ {\ displaystyle \ phi (t) = \ sum _ {n} d_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t} | n \ rangle}

dove | n⟩ {\ displaystyle | n \ rangle} rappresenta gli automi degli stati non disturbati. Per un sistema non disturbato, dn (t) = dn (0) {\ displaystyle d_ {n} (t) = d_ {n} (0)} è una costante. Ora calcoliamo dn (t) {\ displaystyle d_ {n} (t)} sotto una perturbazione periodica H1 (t) = H1e − iωt {\ displaystyle H ^ {1} (t) = H ^ {1} e ^ {-i \ omega t}}. Applicando l'operatore iℏ∂ / ∂t − H0 − H1 {\ displaystyle i \ hbar \ partial / \ partial tH ^ {0} -H ^ {1}} su entrambi i lati dell'equazione precedente, possiamo ottenere

0 = ∑ne − iEn0t / ℏ | n⟩ {\ displaystyle 0 = \ sum _ {n} e ^ {- iE_ {n} ^ {0} t / \ hbar} | n \ rangle}

e poi volte ⟨m | eiEm0t / ℏ {\ displaystyle \ langle m | e ^ {iE_ {m} ^ {0} t / \ hbar}} su entrambi i lati dell'equazione,

iℏd˙m = ∑n⟨m | H1 | n⟩ei (ωmn − ω) tdn {\ displaystyle i \ hbar {\ dot {d}} _ {m} = \ sum _ {n} \ langle m | H ^ {1} | n \ rangle e ^ {i (\ omega _ {mn} - \ omega) t} d_ {n}}

Quando la frequenza di eccitazione è in risonanza tra due stati | m⟩ {\ displaystyle | m \ rangle} e | n⟩ {\ displaystyle | n \ rangle}, ovvero ω = ωmn {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {mn} }, diventa un normale problema di modalità di un sistema a due livelli ed è facile trovarlo

dm, n (t) = dm, n, + (0) eiΩt + dm, n, - (0) e − iΩt {\ displaystyle d_ {m, n} (t) = d_ {m, n, +} ( 0) e ^ {i \ Omega t} + d_ {m, n, -} (0) e ^ {- i \ Omega t}}

dove Ω = ⟨m | H1 | n⟩ℏ {\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ langle m | H ^ {1} | n \ rangle} {\ hbar}}}

La possibilità che lo stato sia al momento è t

Pm = dm (t) ∗ dm (t) = dm, −2 (0) + dm, + 2 (0) + 2dm, - (0) dm, + (0) cos⁡ (2Ωt) {\ displaystyle P_ { m} = d_ {m} (t) ^ {*} d_ {m} (t) = d_ {m, -} ^ {2} (0) + d_ {m, +} ^ {2} (0) + 2d_ {m, -} (0) d_ {m, +} (0) \ cos (2 \ Omega t)}

Il valore di dm, ± (0) {\ displaystyle d_ {m, \ pm} (0)} dipende dalle condizioni iniziali del sistema.

Una soluzione esatta del sistema spin 1/2 in un campo magnetico di oscillazione è risolta da Rabi (1937). Dal loro lavoro, è chiaro che la frequenza di oscillazione di Rabi è proporzionale alla grandezza del campo magnetico di oscillazione.

Multimedia

Un'applet Java che visualizza i cicli Rabi di sistemi a due stati (laser driven):

  • http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

Approccio alla teoria dei campi quantistici

Nell'approccio di Bloch, il campo non è quantizzato e né la coerenza risultante né la risonanza sono ben spiegate.

Ho bisogno di lavoro per l'approccio QFT, principalmente modello Jaynes-Cummings.