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Metodo al contorno immerso

Nella fluidodinamica computazionale, il metodo del limite immerso originariamente si riferiva a un approccio sviluppato da Charles Peskin nel 1972 per simulare le interazioni fluido-struttura (fibra). Il trattamento dell'accoppiamento delle deformazioni della struttura e del flusso del fluido pone una serie di problemi impegnativi per le simulazioni numeriche (il limite elastico modifica il flusso del fluido e il fluido sposta contemporaneamente il limite elastico). Nel metodo al contorno immerso il fluido è rappresentato su una coordinata euleriana e la struttura è rappresentata su una coordinata lagrangiana. Per i fluidi newtoniani governati dalle incomprimibili equazioni di Navier-Stokes, le equazioni dei fluidi sono

ρ (∂u (x, t) ∂t + u⋅∇u) = - ∇p + μΔu (x, t) + f (x, t) {\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial { u} ({x}, t)} {\ partial {t}}} + {u} \ cdot \ nabla {u} \ right) = - \ nabla p + \ mu \, \ Delta u (x, t) + f (x, t)}

e in caso di fluidi incomprimibili (assumendo densità costante) abbiamo la condizione

∇⋅u = 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot u = 0. \,}

Le strutture immerse sono in genere rappresentate come una raccolta di fibre monodimensionali, indicate da Γ {\ displaystyle \ Gamma}. Ogni fibra può essere vista come una curva parametrica X (s, t) {\ displaystyle X (s, t)} dove s {\ displaystyle s} è il parametro e t {\ displaystyle t} è il tempo. La fisica della fibra è rappresentata tramite la distribuzione della forza della fibra F (s, t) {\ displaystyle F (s, t)}. Forze elastiche, resistenza alla flessione o qualsiasi altro tipo di comportamento possono essere integrate in questo termine. La forza esercitata dalla struttura sul fluido viene quindi interpolata come termine sorgente nell'equazione del momento usando

f (x, t) = ∫ΓF (s, t) δ (x − X (s, t)) ds, {\ displaystyle f (x, t) = \ int _ {\ Gamma} F (s, t) \, \ delta {\ big (} xX (s, t) {\ big)} \, ds,}

dove δ {\ displaystyle \ delta} è la funzione Dirac δ. La forzatura può essere estesa a più dimensioni per modellare superfici elastiche o solidi tridimensionali. Supponendo una struttura senza massa, la fibra elastica si muove con la velocità del fluido locale e può essere interpolata tramite la funzione delta

∂X (s, t) ∂t = u (X, t) = ∫Ωu (x, t) δ (x − X (s, t)) dx, {\ displaystyle {\ frac {\ partial X (s, t)} {\ partial t}} = u (X, t) = \ int _ {\ Omega} u (x, t) \, \ delta {\ big (} xX (s, t) {\ big)} \, dx,}

dove Ω {\ displaystyle \ Omega} indica l'intero dominio del fluido. La discretizzazione di queste equazioni può essere fatta ipotizzando una griglia di Eulerian sul fluido e una griglia di Lagrangian separata sulla fibra. Le approssimazioni della distribuzione Delta mediante funzioni più fluide ci consentiranno di interpolare tra le due griglie. Qualsiasi risolutore di fluidi esistente può essere accoppiato a un risolutore per le equazioni delle fibre per risolvere le equazioni ai confini immersi. Sono state applicate varianti di questo approccio di base per simulare un'ampia varietà di sistemi meccanici che coinvolgono strutture elastiche che interagiscono con i flussi di fluidi.

Dallo sviluppo originale di questo metodo da parte di Peskin, sono stati sviluppati vari approcci per simulare il flusso su corpi immersi complessi su reti che non si conformano alla superficie del corpo. Questi includono metodi come il metodo dell'interfaccia immersa, il metodo della griglia cartesiana, il metodo del fluido fantasma e il metodo delle cellule tagliate. Mittal e Iaccarino si riferiscono a tutti questi (e altri relativi) metodi come metodi di confine immersi e forniscono varie categorizzazioni di questi metodi. Dal punto di vista dell'implementazione, categorizzano i metodi di confine immersi in metodi di forzatura continua e forzatura discreta . Nel primo, un termine di forza viene aggiunto alle equazioni continue di Navier-Stokes prima della discretizzazione, mentre nel secondo, la forzatura viene applicata (esplicitamente o implicitamente) alle equazioni discretizzate. In base a questa tassonomia, il metodo originale di Peskin è un metodo di forzatura continua , mentre i metodi della griglia cartesiana, della cella di taglio e del fluido fantasma sono metodi di forzatura discreti .