Dispersione (onde d'acqua)

Nella fluidodinamica, la dispersione delle onde d'acqua si riferisce generalmente alla dispersione di frequenza, il che significa che le onde di diverse lunghezze d'onda viaggiano a velocità di fase diverse. Le onde d'acqua, in questo contesto, sono onde che si propagano sulla superficie dell'acqua, con gravità e tensione superficiale come forze di ripristino. Di conseguenza, l'acqua con una superficie libera è generalmente considerata un mezzo dispersivo.

Per una certa profondità dell'acqua, le onde di gravità superficiale - ovvero le onde che si verificano nell'interfaccia aria-acqua e la gravità come unica forza che la ripristina alla planarità - si propagano più velocemente con l'aumentare della lunghezza d'onda. D'altra parte, per una data lunghezza d'onda (fissa), le onde di gravità in acque più profonde hanno una velocità di fase maggiore rispetto a quelle in acque più basse. Contrariamente al comportamento delle onde gravitazionali, le onde capillari (cioè solo forzate dalla tensione superficiale) si propagano più velocemente per lunghezze d'onda più brevi.

Oltre alla dispersione di frequenza, anche le onde d'acqua presentano dispersione di ampiezza. Questo è un effetto non lineare, in base al quale le onde di ampiezza maggiore hanno una velocità di fase diversa dalle onde di piccola ampiezza.

Dispersione di frequenza per onde gravitazionali superficiali

Questa sezione riguarda la dispersione di frequenza per le onde su uno strato fluido forzato dalla gravità e secondo la teoria lineare. Per gli effetti della tensione superficiale sulla dispersione di frequenza, vedere gli effetti della tensione superficiale nella teoria delle onde aeree e delle onde capillari.

Propagazione e dispersione delle onde

L'onda di propagazione più semplice di forma immutabile è un'onda sinusoidale. Un'onda sinusoidale con elevazione della superficie dell'acqua η (x, t) è data da:

η (x, t) = asin⁡ (θ (x, t)), {\ displaystyle \ eta (x, t) = a \ sin \ left (\ theta (x, t) \ right), \,}

dove a è l'ampiezza (in metri) e θ = θ (x, t) è la funzione di fase (in radianti), a seconda della posizione orizzontale ( x , in metri) e del tempo ( t , in secondi):

θ = 2π (xλ − tT) = kx − ωt, {\ displaystyle \ theta = 2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - {\ frac {t} {T}} \ right) = kx- \ omega t,} con k = 2πλ {\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}} e ω = 2πT, {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}},}

dove:

• λ è la lunghezza d'onda (in metri),
• T è il periodo (in secondi),
• k è il numero d'onda (in radianti per metro) e
• ω è la frequenza angolare (in radianti al secondo).

Le fasi caratteristiche di un'onda d'acqua sono:

• lo zero-crossing verso l'alto a θ = 0 ,
• la cresta dell'onda a θ = ½ π ,
• lo zero-crossing verso il basso a θ = π e
• la depressione dell'onda a θ = 1½ π .

Una certa fase si ripete dopo un numero intero m multiplo di 2π : sin ( θ ) = sin ( θ + m • 2π ).

Essenziale per le onde d'acqua e altri fenomeni ondulatori in fisica, è che le onde a propagazione libera di ampiezza diversa da zero esistono solo quando la frequenza angolare ω e il numero d'onda k (o equivalentemente la lunghezza d' onda λ e il periodo T ) soddisfano una relazione funzionale: la dispersione di frequenza relazione

ω2 = Ω2 (k). {\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k). \,}

La relazione di dispersione ha due soluzioni: ω = + Ω (k) e ω = −Ω (k) , corrispondente alle onde che viaggiano nella direzione x positiva o negativa. La relazione di dispersione dipenderà in generale da molti altri parametri oltre al numero d'onda k . Per le onde di gravità, secondo la teoria lineare, si tratta dell'accelerazione per gravità ge la profondità dell'acqua h . La relazione di dispersione per queste onde è:

un'equazione implicita con tanh che indica la funzione tangente iperbolica.

Una fase d'onda iniziale θ = θ0 si propaga in funzione dello spazio e del tempo. La sua posizione successiva è data da:

x = λTt + λ2πθ0 = ωkt + θ0k. {\ displaystyle x = {\ frac {\ lambda} {T}} \, t + {\ frac {\ lambda} {2 \ pi}} \, \ theta _ {0} = {\ frac {\ omega} {k}} \, t + {\ frac {\ theta _ {0}} {k}}.}

Questo dimostra che la fase si muove con la velocità:

cp = λT = ωk = Ω (k) k, {\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {\ Omega (k)} {k}},}

che si chiama velocità di fase.

Velocità di fase

Un'onda sinusoidale, di piccola ampiezza di elevazione superficiale e con una lunghezza d'onda costante, si propaga con la velocità di fase, detta anche velocità o velocità di fase. Mentre la velocità di fase è un vettore e ha una direzione associata, la velocità o la velocità di fase si riferiscono solo all'ampiezza della velocità di fase. Secondo la teoria lineare per le onde forzate dalla gravità, la velocità della fase dipende dalla lunghezza d'onda e dalla profondità dell'acqua. Per una profondità dell'acqua fissa, le onde lunghe (con lunghezze d'onda elevate) si propagano più velocemente delle onde più corte.

Nella figura a sinistra, si può vedere che le onde di acque poco profonde, con lunghezze d' onda λ molto più grandi della profondità dell'acqua h , viaggiano con la velocità di fase

cp = gh (acque poco profonde), {\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {gh}} \ qquad \ scriptstyle {\ text {(acque poco profonde),}} \,}

con g l'accelerazione per gravità e cp la velocità di fase. Poiché la velocità di questa fase in acque poco profonde è indipendente dalla lunghezza d'onda, le onde in acque poco profonde non hanno dispersione di frequenza.

Utilizzando un'altra normalizzazione per la stessa relazione di dispersione di frequenza, la figura a destra mostra che per una lunghezza d' onda fissa λ la velocità di fase cp aumenta con l'aumentare della profondità dell'acqua. Fino a quando, in acque profonde con profondità dell'acqua h maggiore della metà della lunghezza d' onda λ (quindi per h / λ> 0,5 ), la velocità di fase cp è indipendente dalla profondità dell'acqua:

cp = gλ2π = g2πT (acque profonde), {\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {\ frac {g \ lambda} {2 \ pi}}} = {\ frac {g} {2 \ pi}} T \ qquad \ scriptstyle {\ text {(deep water),}}}

con T il periodo d'onda (il reciproco della frequenza f , T = 1 / f ). Quindi in acque profonde la velocità della fase aumenta con la lunghezza d'onda e con il periodo.

Poiché la velocità di fase soddisfa cp = λ / T = λf , lunghezza d'onda e periodo (o frequenza) sono correlati. Ad esempio in acque profonde:

λ = g2πT2 (acque profonde). {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {g} {2 \ pi}} T ^ {2} \ qquad \ scriptstyle {\ text {(acque profonde).}}}

Di seguito sono riportate le caratteristiche di dispersione per la profondità intermedia.

Velocità del gruppo

L'interferenza di due onde sinusoidali con lunghezze d'onda leggermente diverse, ma la stessa ampiezza e direzione di propagazione, si traduce in un modello di battito, chiamato gruppo di onde. Come si può vedere nell'animazione, il gruppo si sposta con una velocità di gruppo cg diversa dalla velocità di fase cp , a causa della dispersione di frequenza.

La velocità del gruppo è rappresentata dalle linee rosse (contrassegnate con B ) nelle due figure sopra. In acque poco profonde, la velocità del gruppo è uguale alla velocità della fase in acque poco profonde. Questo perché le onde di acque poco profonde non sono dispersive. In acque profonde, la velocità del gruppo è uguale alla metà della velocità della fase: cg = ½ cp .

La velocità del gruppo risulta anche essere la velocità del trasporto di energia. Questa è la velocità con cui l'energia dell'onda media viene trasportata orizzontalmente in un campo d'onda a banda stretta.

Nel caso di una velocità di gruppo diversa dalla velocità di fase, una conseguenza è che il numero di onde contate in un gruppo di onde è diverso quando conteggiato da un'istantanea nello spazio in un determinato momento, da quando contato nel tempo dall'elevazione della superficie misurata in una posizione fissa. Considera un gruppo di onde di lunghezza Λg e durata del gruppo di τg . La velocità del gruppo è:

cg = Λgτg. {\ displaystyle c_ {g} = {\ frac {\ Lambda _ {g}} {\ tau _ {g}}}.}

Il numero di onde in un gruppo di onde, misurate nello spazio in un determinato momento è: Λg / λ . Mentre misurato in una posizione fissa nel tempo, il numero di onde in un gruppo è: τg / T. Quindi il rapporto tra il numero di onde misurate nello spazio e quelle misurate nel tempo è:

Numero di onde nello spazio No. delle onde nel tempo = Λg / λτg / T = Λgτg⋅Tλ = cgcp. {\ displaystyle {\ tfrac {\ text {No. di onde nello spazio}} {\ text {No. of waves in time}}} = {\ frac {\ Lambda _ {g} / \ lambda} {\ tau _ {g} / T}} = {\ frac {\ Lambda _ {g}} {\ tau _ { g}}} \ cdot {\ frac {T} {\ lambda}} = {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}}.}

Quindi in acque profonde, con cg = ½ cp , un gruppo di onde ha il doppio delle onde nel tempo rispetto allo spazio.

L'elevazione della superficie dell'acqua η (x, t) , in funzione della posizione orizzontale xe del tempo t , per un gruppo di onde bicromatiche di modulazione completa può essere formulata matematicamente come:

η = asin⁡ (k1x − ω1t) + asin⁡ (k2x − ω2t), {\ displaystyle \ eta = a \, \ sin \ left (k_ {1} x- \ omega _ {1} t \ right) + a \, \ sin \ left (k_ {2} x- \ omega _ {2} t \ right),}

con:

• a l'ampiezza dell'onda di ogni componente di frequenza in metri,
• k1 e k2 il numero d'onda di ciascun componente d'onda, in radianti per metro, e
• ω1 e ω2 la frequenza angolare di ciascun componente d'onda, in radianti al secondo.

Sia ω1 e k1 , sia ω2 e k2 , devono soddisfare la relazione di dispersione:

ω12 = Ω2 (k1) {\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k_ {1}) \,} e ω22 = Ω2 (k2). {\ displaystyle \ omega _ { 2} ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k_ {2}). \,}

Utilizzando identità trigonometriche, l'elevazione della superficie è scritta come:

η = ⋅sin⁡ (k1 + k22x − ω1 + ω22t). {\ displaystyle \ eta = \ left \; \ cdot \; \ sin \ left ({\ frac {k_ {1} + k_ {2}} {2 }} x - {\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} t \ right).}

La parte tra parentesi quadre è l'ampiezza che varia lentamente del gruppo, con il numero d'onda del gruppo ½ (k1 - k2) e la frequenza angolare del gruppo ½ (ω1 - ω2) . Di conseguenza, la velocità del gruppo è, per il limite k1 → k2 :

cg = limk1 → k2ω1 − ω2k1 − k2 = limk1 → k2Ω (k1) −Ω (k2) k1 − k2 = dΩ (k) dk. {\ displaystyle c_ {g} = \ lim _ {k_ {1} \, \ a \, k_ {2}} {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {k_ {1} -k_ {2}}} = \ lim _ {k_ {1} \, \ a \, k_ {2}} {\ frac {\ Omega (k_ {1}) - \ Omega (k_ {2})} {k_ {1} -k_ {2}}} = {\ frac {{\ text {d}} \ Omega (k)} {{\ text {d}} k}}.}

I gruppi di onde possono essere individuati solo in caso di segnale a banda stretta, con la differenza del numero d'onda k1 - k2 piccola rispetto al numero d'onda medio ½ (k1 + k2) .

Schemi d'onda multicomponente

L'effetto della dispersione di frequenza è che le onde viaggiano in funzione della lunghezza d'onda, in modo che le proprietà della fase spaziale e temporale dell'onda propagante cambino costantemente. Ad esempio, sotto l'azione della gravità, le onde d'acqua con una lunghezza d'onda più lunga viaggiano più velocemente di quelle con una lunghezza d'onda più breve.

Mentre due onde sinusoidali sovrapposte, chiamate un'onda bicromatica, hanno un inviluppo che viaggia invariato, tre o più componenti dell'onda sinusoidale provocano un mutevole andamento delle onde e del loro inviluppo. Uno stato del mare - vale a dire: onde reali sul mare o sull'oceano - può essere descritto come una sovrapposizione di molte onde sinusoidali con diverse lunghezze d'onda, ampiezze, fasi iniziali e direzioni di propagazione. Ciascuno di questi componenti viaggia con la propria velocità di fase, secondo la relazione di dispersione. Le statistiche di tale superficie possono essere descritte dal suo spettro di potenza.

Relazione di dispersione

Nella tabella seguente viene indicata la relazione di dispersione ω2 = 2 tra la frequenza angolare ω = 2π / T e il numero d'onda k = 2π / λ , nonché le velocità di fase e di gruppo.

Dispersione di frequenza delle onde gravitazionali sulla superficie di acque profonde, acque poco profonde ea profondità intermedia, secondo la teoria delle onde lineari
quantità	simbolo	unità	acque profonde ( h > ½ λ )	acque poco profonde ( h 0,05 λ )	profondità intermedia (tutti λ e h )
relazione di dispersione	Ω (k) {\ displaystyle \ displaystyle \ Omega (k)}	rad / s	gk = 2πgλ {\ displaystyle {\ sqrt {gk}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \, g} {\ lambda}}}}	kgh = 2πλgh {\ displaystyle k {\ sqrt {gh}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} {\ sqrt {gh}}}	gktanh⁡ (kh) = 2πgλtanh⁡ (2πhλ) {\ displaystyle {\ begin {allineato} & {\ sqrt {gk \, \ tanh \ left (kh \ right)}} \, \\ & = {\ sqrt {{ \ frac {2 \ pi g} {\ lambda}} \ tanh \ left ({\ frac {2 \ pi h} {\ lambda}} \ right)}} \, \ end {align}}}
velocità di fase	cp = λT = ωk {\ displaystyle \ displaystyle c_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}	Signorina	gk = gω = g2πT {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} = {\ frac {g} {\ omega}} = {\ frac {g} {2 \ pi}} T}	gh {\ displaystyle {\ sqrt {gh}}}	gktanh⁡ (kh) {\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \ tanh \ left (kh \ right)}}}
velocità di gruppo	cg = ∂Ω∂k {\ displaystyle \ displaystyle c_ {g} = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial k}}}	Signorina	12gk = 12gω = g4πT {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {g} { \ omega}} = {\ frac {g} {4 \ pi}} T}	gh {\ displaystyle {\ sqrt {gh}}}	12cp (1 + 2khsinh⁡ (2kh)) {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} c_ {p} \ left (1 + {\ frac {2kh} {\ sinh \ left (2kh \ right)}} \giusto)}
rapporto	cgcp {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}}}	-	12 {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {2}}}	1 {\ displaystyle \ displaystyle 1}	12 (1 + 2khsinh⁡ (2kh)) {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ frac {2kh} {\ sinh \ left (2kh \ right)}} \ right)}
lunghezza d'onda	λ {\ displaystyle \ displaystyle \ lambda}	m	g2πT2 {\ displaystyle {\ frac {g} {2 \ pi}} T ^ {2}}	Tgh {\ displaystyle T {\ sqrt {gh}}}	per un determinato periodo T , la soluzione di: (2πT) 2 = 2πgλtanh⁡ (2πhλ) {\ displaystyle \ displaystyle \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2 \ pi g} {\ lambda }} \ tanh \ left ({\ frac {2 \ pi h} {\ lambda}} \ right)}

L'acqua profonda corrisponde a profondità dell'acqua maggiori della metà della lunghezza d'onda, che è la situazione comune nell'oceano. In acque profonde, le onde di periodi più lunghi si propagano più velocemente e trasportano la loro energia più velocemente. La velocità del gruppo di acque profonde è metà della velocità di fase. In acque poco profonde, per lunghezze d'onda superiori a venti volte la profondità dell'acqua, come si trova abbastanza spesso vicino alla costa, la velocità del gruppo è uguale alla velocità della fase.

Storia

La relazione di dispersione lineare completa è stata trovata per la prima volta da Pierre-Simon Laplace, anche se c'erano alcuni errori nella sua soluzione al problema delle onde lineari. La teoria completa delle onde d'acqua lineari, compresa la dispersione, fu derivata da George Biddell Airy e pubblicata intorno al 1840. Un'equazione simile fu trovata anche da Philip Kelland nello stesso periodo (ma facendo alcuni errori nella sua derivazione della teoria delle onde) .

Il limite di acque poco profonde (con piccolo h / λ ), ω2 = gh k2 , è stato derivato da Joseph Louis Lagrange.

Effetti della tensione superficiale

In caso di onde gravitazionali-capillari, dove la tensione superficiale influenza le onde, la relazione di dispersione diventa:

ω2 = (gk + σρk3) tanh⁡ (kh), {\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ left (gk + {\ frac {\ sigma} {\ rho}} k ^ {3} \ right) \ tanh ( kh),}

con σ la tensione superficiale (in N / m).

Per un'interfaccia acqua-aria (con σ = 0,074 N / me ρ = 1000 kg / m³) le onde possono essere approssimate come onde capillari pure - dominate da effetti di tensione superficiale - per lunghezze d'onda inferiori a 0,4 cm (0,2 pollici). Per lunghezze d'onda superiori a 7 cm (3 pollici) le onde sono in buona approssimazione onde pure di gravità superficiale con effetti di tensione superficiale molto limitati.

Onde interfacciali

Per due strati omogenei di fluidi, di spessore medio h sotto l'interfaccia e h ' sopra - sotto l'azione della gravità e delimitati sopra e sotto da pareti rigide orizzontali - la relazione di dispersione ω2 = Ω2 ( k ) per le onde di gravità è fornita da:

Ω2 (k) = gk (ρ − ρ ′) ρcoth⁡ (kh) + ρ′coth⁡ (kh ′), {\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) = {\ frac {g \, k (\ rho - \ rho ')} {\ rho \, \ coth (kh) + \ rho' \, \ coth (kh ')}},}

dove ancora ρ e ρ ′ sono le densità al di sotto e al di sopra dell'interfaccia, mentre coth è la funzione cotangente iperbolica. Nel caso in cui ρ ′ sia zero, ciò si riduce alla relazione di dispersione delle onde di gravità superficiale sull'acqua di profondità finita h .

Quando la profondità dei due strati fluidi diventa molto grande ( h → ∞, h ′ → ∞), i cotangenti iperbolici nella formula sopra si avvicinano al valore di uno. Poi:

Ω2 (k) = ρ − ρ′ρ + ρ′gk. {\ Displaystyle \ Omega ^ {2} (k) = {\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho'}} \, g \, k.}

Effetti non lineari

Acque poco profonde

Gli effetti di dispersione dell'ampiezza compaiono ad esempio nell'onda solitaria: una singola gobba d'acqua che viaggia a velocità costante in acque poco profonde con un letto orizzontale. Si noti che le onde solitarie sono quasi solitoni, ma non esattamente - dopo l'interazione di due onde solitarie (che si scontrano o si sorpassano), sono cambiate un po 'in ampiezza e un residuo oscillatorio viene lasciato indietro. L'unica soluzione solitonica dell'equazione di Korteweg – de Vries, dell'altezza dell'onda H nella profondità dell'acqua h lontana dalla cresta dell'onda, viaggia con la velocità:

cp = cg = g (h + H). {\ displaystyle c_ {p} = c_ {g} = {\ sqrt {g (h + H)}}.}

Quindi per questa onda di gravità non lineare è la profondità totale dell'acqua sotto la cresta dell'onda che determina la velocità, con le onde più alte che viaggiano più velocemente delle onde più basse. Si noti che le soluzioni di onde solitarie esistono solo per valori positivi di H , non esistono onde di depressione solitarie di gravità.

Acque profonde

La relazione di dispersione lineare - non influenzata dall'ampiezza dell'onda - è per le onde non lineari anche corrette al secondo ordine dell'espansione della teoria delle perturbazioni, con gli ordini in termini di ripidezza dell'onda ka (dove a è l'ampiezza dell'onda). Al terzo ordine, e per acque profonde, la relazione di dispersione è

ω2 = gk, {\ displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ left,} quindi cp = gk + O ((ka) 4). {\ displaystyle c_ {p} = {\ sqrt {\ frac {g} { k}}} \, \ left + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ right).}

Ciò implica che le onde grandi viaggiano più velocemente di quelle piccole della stessa frequenza. Ciò è evidente solo quando la pendenza dell'onda ka è grande.

Onde su una corrente media: spostamento Doppler

Le onde d'acqua su un flusso medio (quindi un'onda in un mezzo mobile) subiscono uno spostamento Doppler. Supponiamo che la relazione di dispersione per un mezzo non mobile sia:

ω2 = Ω2 (k), {\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ Omega ^ {2} (k), \,}

con k il numero d'onda. Quindi per un mezzo con vettore di velocità media V , la relazione di dispersione con lo spostamento Doppler diventa:

(ω − k⋅V) 2 = Ω2 (k), {\ displaystyle \ left (\ omega - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {V} \ right) ^ {2} = \ Omega ^ {2} ( K),}

dove k è il vettore del numero d'onda, correlato a k come: k = | k |. Il prodotto punto k • V è uguale a: k • V = kV cos α , con V la lunghezza del vettore di velocità media V : V = | V |. E α l'angolo tra la direzione di propagazione dell'onda e la direzione media del flusso. Per onde e corrente nella stessa direzione, k • V = kV .