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Sistema di coordinate cilindriche

Sistema di coordinate cilindriche
Sistema di coordinate tridimensionali

Un sistema di coordinate cilindrico è un sistema di coordinate tridimensionale che specifica le posizioni dei punti in base alla distanza da un asse di riferimento scelto, alla direzione dall'asse relativa a una direzione di riferimento scelta e alla distanza da un piano di riferimento scelto perpendicolare all'asse. Quest'ultima distanza è indicata come un numero positivo o negativo a seconda del lato del piano di riferimento rivolto verso il punto.

L' origine del sistema è il punto in cui tutte e tre le coordinate possono essere indicate come zero. Questa è l'intersezione tra il piano di riferimento e l'asse. L'asse è variamente chiamato asse cilindrico o longitudinale , per differenziarlo dall'asse polare , che è il raggio che giace sul piano di riferimento, a partire dall'origine e puntando nella direzione di riferimento. Altre direzioni perpendicolari all'asse longitudinale sono chiamate linee radiali .

La distanza dall'asse può essere chiamata distanza o raggio radiale , mentre la coordinata angolare viene talvolta definita posizione angolare o azimut . Il raggio e l'azimut vengono chiamati insieme coordinate polari , poiché corrispondono a due- sistema di coordinate polari dimensionali nel piano attraverso il punto, parallelo al piano di riferimento. La terza coordinata può essere chiamata altezza o altitudine (se il piano di riferimento è considerato orizzontale), posizione longitudinale o posizione assiale .

Le coordinate cilindriche sono utili in relazione a oggetti e fenomeni che presentano una certa simmetria rotazionale attorno all'asse longitudinale, come flusso d'acqua in un tubo diritto con sezione circolare, distribuzione del calore in un cilindro metallico, campi elettromagnetici prodotti da una corrente elettrica in un dischi lunghi e dritti, di accrescimento in astronomia, e così via.

A volte vengono chiamate "coordinate polari cilindriche" e "coordinate cilindriche polari" e talvolta vengono utilizzate per specificare la posizione delle stelle in una galassia ("coordinate polari cilindriche galattocentriche").

Definizione

Le tre coordinate (ρ, φ, z) di un punto P sono definite come:

  • La distanza assiale o radiale ρ è la distanza euclidea dall'asse z al punto P.
  • L' azimut φ è l'angolo tra la direzione di riferimento sul piano scelto e la linea dall'origine alla proiezione di P sul piano.
  • La coordinata assiale o l' altezza z è la distanza segnata dal piano scelto al punto P.

Coordinate cilindriche uniche

Come nelle coordinate polari, lo stesso punto con coordinate cilindriche ( ρ , φ , z ) ha infinite coordinate equivalenti, vale a dire ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) e (- ρ , φ ± (2 n + 1) × 180 °, z ), dove n è un numero intero. Inoltre, se il raggio ρ è zero, l'azimut è arbitrario.

In situazioni in cui qualcuno desidera un insieme univoco di coordinate per ciascun punto, è possibile limitare il raggio in modo che non sia negativo ( ρ ≥ 0) e che l'azimut φ si trovi in ​​un intervallo specifico di 360 °, come o.

Convegni

La notazione per coordinate cilindriche non è uniforme. Lo standard ISO 31-11 raccomanda ( ρ , φ , z ), dove ρ è la coordinata radiale, φ l'azimut e z l'altezza. Tuttavia, il raggio è spesso anche indicato con r o s, l'azimut di θ o t, e la terza coordinata di h o (se l'asse cilindrico è considerato orizzontale) x, o qualsiasi lettera specifica del contesto.

In situazioni concrete, e in molte illustrazioni matematiche, una coordinata angolare positiva viene misurata in senso antiorario, vista da qualsiasi punto con altezza positiva.

Conversioni del sistema di coordinate

Il sistema di coordinate cilindriche è uno dei molti sistemi di coordinate tridimensionali. Le seguenti formule possono essere utilizzate per la conversione tra di loro.

coordinate cartesiane

Per la conversione tra coordinate cilindriche e cartesiane, è conveniente supporre che il piano di riferimento del primo sia il piano xy cartesiano (con equazione z = 0) e l'asse cilindrico sia l'asse z cartesiano. Quindi la coordinata z è la stessa in entrambi i sistemi e la corrispondenza tra cilindrica ( ρ , φ , z ) e cartesiana ( x , y , z ) è la stessa delle coordinate polari, vale a dire

x = ρcos⁡φy = ρsin⁡φz = z {\ displaystyle {\ inizio {allineato} x & = \ rho \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \\ z & = z \ end {align}}}

in una direzione, e

ρ = x2 + y2φ = {0if x = 0 e y = 0arcsin⁡ (yρ) se x≥0arctan⁡ (yx) se x> 0 − arcsin⁡ (yρ) + πif x 0 {\ displaystyle {\ begin {allineato } \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ varphi & = {\ begin {casi} 0 & {\ mbox {if}} x = 0 {\ mbox {e }} y = 0 \\\ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \\\ arctan \ left ({\ frac {y } {x}} \ right) & {\ mbox {if}} x> 0 \\ - \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) + \ pi & {\ mbox {if }} x 0 \ end {casi}} \ end {allineata}}}

nell'altro. La funzione arcsin è l'inverso della funzione seno, e si presume che restituisca un angolo nell'intervallo =. Queste formule producono un azimut φ nell'intervallo. Per altre formule, consultare l'articolo sulle coordinate polari.

Molti linguaggi di programmazione moderni offrono una funzione che calcolerà la corretta φ azimut, nell'intervallo (-π, π), proposta xey, senza la necessità di effettuare un'analisi caso come sopra. Ad esempio, questa funzione è chiamata da atan2 ( y , x ) nel linguaggio di programmazione C e atan ( y , x ) in Common Lisp.

Coordinate sferiche

Le coordinate sferiche (raggio r, elevazione o inclinazione θ, azimut φ), possono essere convertite in coordinate cilindriche mediante:

θ è elevazione: θ è inclinazione:
ρ = rcos⁡θφ = φz = rsin⁡θ {\ displaystyle {\ begin {allineato} \ rho & = r \ cos \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ sin \ theta \ end {allineato }}} ρ = rsin⁡θφ = φz = rcos⁡θ {\ displaystyle {\ begin {allineato} \ rho & = r \ sin \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ cos \ theta \ end {allineato }}}

Le coordinate cilindriche possono essere convertite in coordinate sferiche mediante:

θ è elevazione: θ è inclinazione:
r = ρ2 + z2θ = arctan⁡ (zρ) φ = φ {\ displaystyle {\ begin {allineato} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {z} {\ rho}} \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {align}}} r = ρ2 + z2θ = arctan⁡ (ρz) φ = φ {\ displaystyle {\ begin {allineato} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {\ rho} {z}} \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {align}}}

Elementi di linea e volume

Vedere l'integrale multiplo per i dettagli sull'integrazione del volume in coordinate cilindriche e Del in coordinate cilindriche e sferiche per le formule di calcolo vettoriale.

In molti problemi che coinvolgono coordinate polari cilindriche, è utile conoscere gli elementi di linea e volume; questi sono utilizzati in integrazione per risolvere problemi che coinvolgono percorsi e volumi.

L'elemento linea è

dr = dρρ ^ + ρdφφ ^ + dzz ^. {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ rho \, {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ rho \ , \ mathrm {d} \ varphi \, {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + \ mathrm {d} z \, \ mathbf {\ hat {z}}.}

L'elemento volume è

dV = ρdρdφdz. {\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}

L'elemento di superficie in una superficie di raggio costante ρ (un cilindro verticale) è

dSρ = ρdφdz. {\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ rho} = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}

L'elemento di superficie in una superficie di azimut costante φ (un semipiano verticale) è

dSφ = dρdz. {\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}

L'elemento di superficie in una superficie di altezza costante z (un piano orizzontale) è

dSz = ρdρdφ. {\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi.}

L'operatore del in questo sistema porta alle seguenti espressioni per gradiente, divergenza, arricciatura e laplaciano:

∇f = ∂f∂ρρ ^ + 1ρ∂f∂φφ ^ + ∂f∂zz ^ ∇⋅A = 1ρ∂∂ρ (ρAρ) + 1ρ∂Aφ∂φ + ∂Az∂z∇ × A = (1ρ∂ Az∂φ-∂Aφ∂z) ρ ^ + (∂Aρ∂z-∂Az∂ρ) φ ^ + 1ρ (∂∂ρ (ρAφ) -∂Aρ∂φ) z ^ = ∇2f 1ρ∂∂ρ ( ρ∂f∂ρ) + 1ρ2∂2f∂φ2 + ∂2f∂z2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f & = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac { \ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat {z}} \\\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {A}} & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ rho} \ right) + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \\\ nabla \ times {\ boldsymbol {A}} & = \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ varphi}} - {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ rho} }} + \ left ({\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ rho}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ varphi} \ a destra) - {\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ mathbf {\ hat {z}} \\\ nabla ^ {2} f & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} { \ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ { 2}}} \ end {allineata}}}

Armoniche cilindriche

Le soluzioni all'equazione di Laplace in un sistema con simmetria cilindrica sono chiamate armoniche cilindriche.