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Palla che rimbalza

Palla che rimbalza

La fisica di una palla che rimbalza riguarda il comportamento fisico delle palle che rimbalzano, in particolare il suo movimento prima, durante e dopo l'impatto contro la superficie di un altro corpo. Diversi aspetti del comportamento di una palla che rimbalza servono come introduzione alla meccanica nei corsi di fisica di livello superiore o universitario. Tuttavia, l'esatta modellizzazione del comportamento è complessa e di interesse per l'ingegneria sportiva.

Il movimento di una palla è generalmente descritto dal movimento del proiettile (che può essere influenzato dalla gravità, dalla resistenza, dall'effetto Magnus e dalla galleggiabilità), mentre il suo impatto è generalmente caratterizzato dal coefficiente di restituzione (che può essere influenzato dalla natura del palla, la natura della superficie di impatto, la velocità di impatto, la rotazione e le condizioni locali come temperatura e pressione). Per garantire il gioco equo, molti organi di governo dello sport pongono limiti alla rimbalzatura della propria palla e vietano di manomettere le proprietà aerodinamiche della palla. La rimbalzatura delle palle è stata una caratteristica degli sport antichi come il gioco del pallone mesoamericano.

Forze durante il volo ed effetto sul movimento

Il movimento di una palla che rimbalza obbedisce al movimento del proiettile. Molte forze agiscono su una palla reale, vale a dire la forza gravitazionale ( F G), la forza di resistenza dovuta alla resistenza dell'aria ( F D), la forza del Magnus dovuta alla rotazione della palla ( F M) e la forza di galleggiamento ( F B) . In generale, si deve usare la seconda legge di Newton tenendo conto di tutte le forze per analizzare il movimento della palla:

∑F = ma, FG + FD + FM + FB = ma = mdvdt = md2rdt2, {\ displaystyle {\ inizio {allineato} \ sum \ mathbf {F} & = m \ mathbf {a}, \\\ mathbf {F } _ {\ text {G}} + \ mathbf {F} _ {\ text {D}} + \ mathbf {F} _ {\ text {M}} + \ mathbf {F} _ {\ text {B} } & = m \ mathbf {a} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}} }, \ end {allineata}}}

dove m è la massa della palla. Qui, a , v , r rappresentano l'accelerazione, la velocità e la posizione della palla nel tempo t .

Gravità

La forza gravitazionale è diretta verso il basso ed è uguale a

FG = mg, {\ displaystyle F _ {\ text {G}} = mg,}

dove m è la massa della palla e g è l'accelerazione gravitazionale, che sulla Terra varia tra 9.764 m / s2 e 9.834 m / s2. Poiché le altre forze sono generalmente piccole, il movimento è spesso idealizzato come solo sotto l'influenza della gravità. Se solo la forza di gravità agisce sulla palla, l'energia meccanica verrà conservata durante il suo volo. In questo caso idealizzato, le equazioni del moto sono date da

a = −gj ^, v = v0 + at, r = r0 + v0t + 12at2, {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = - g \ mathbf {\ hat {j}}, \\ \ mathbf {v} & = \ mathbf {v} _ {\ text {0}} + \ mathbf {a} t, \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf { v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2}, \ end {align}}}

dove a , v e r indicano l'accelerazione, la velocità e la posizione della palla, e v 0 e r 0 sono rispettivamente la velocità iniziale e la posizione della palla.

Più specificamente, se la palla viene rimbalzata ad un angolo θ rispetto al terreno, il movimento negli assi x e y (che rappresentano rispettivamente il movimento orizzontale e verticale ) è descritto da

asse x = ax = 0, vx = v0cos⁡ (θ), x = x0 + v0cos⁡ (θ) t, {\ displaystyle {\ begin {allineato} a _ {\ text {x}} & = 0, \\ v_ {\ text {x}} & = v_ {0} \ cos \ left (\ theta \ right), \\ x & = x_ {0} + v_ {0} \ cos \ left (\ theta \ right) t, \ end {allineato}}} y -axis ay = −g, vy = v0sin⁡ (θ) −gt, y = y0 + v0sin⁡ (θ) t − 12gt2. {\ displaystyle {\ begin {align} a _ {\ \ text {y}} & = -g, \\ v _ {\ text {y}} & = v_ {0} \ sin \ left (\ theta \ right) -gt, \\ y & = y_ {0} + v_ {0} \ sin \ left ( \ theta \ right) t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}. \ end {align}}}

Le equazioni implicano che l'altezza massima ( H ) e l'intervallo ( R ) e il tempo di volo ( T ) di una palla che rimbalza su una superficie piana sono dati da

H = v022gsin2⁡ (θ), R = v02gsin⁡ (2θ) eT = 2v0gsin⁡ (θ). {\ Displaystyle {\ begin {align} H & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g }} \ sin ^ {2} \ left (\ theta \ right), \\ R & = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ left (2 \ theta \ right), ~ {\ text {and}} \\ T & = {\ frac {2v_ {0}} {g}} \ sin \ left (\ theta \ right). \ end {align}}}

Ulteriori perfezionamenti al movimento della palla possono essere fatti tenendo conto della resistenza dell'aria (e dei relativi effetti come resistenza e vento), l'effetto Magnus e la galleggiabilità. Poiché le sfere più leggere accelerano più facilmente, il loro movimento tende a essere maggiormente influenzato da tali forze.

Trascinare

Il flusso d'aria intorno alla palla può essere laminare o turbolento a seconda del numero di Reynolds (Re), definito come:

Re = ρDvμ, {\ displaystyle {\ text {Re}} = {\ frac {\ rho Dv} {\ mu}},}

dove ρ è la densità dell'aria, μ la viscosità dinamica dell'aria, D il diametro della palla e v la velocità della palla attraverso l'aria. A una temperatura di 20 ° C, ρ = 1,2 kg / m3 e μ = 1,8 × 10−5 Pa · s.

Se il numero di Reynolds è molto basso (Re 1), la forza di resistenza sulla palla è descritta dalla legge di Stokes:

FD = 6πμrv, {\ displaystyle F _ {\ text {D}} = 6 \ pi \ mu rv,}

dove r è il raggio della palla. Questa forza agisce in opposizione alla direzione della palla (nella direzione di −v ^ {\ displaystyle \ textstyle - {\ hat {\ mathbf {v}}}}). Per la maggior parte dei palloni sportivi, tuttavia, il numero di Reynolds sarà compreso tra 104 e 105 e la legge di Stokes non si applica. A questi valori più alti del numero di Reynolds, la forza di resistenza sulla palla è invece descritta dall'equazione di resistenza:

FD = 12ρCdAv2, {\ displaystyle F _ {\ text {D}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {d}} Av ^ {2},}

dove C d è il coefficiente di resistenza, e A l'area della sezione trasversale della palla.

Il trascinamento farà perdere energia meccanica alla palla durante il suo volo e ridurrà il raggio e l'altezza di una palla, mentre i venti trasversali la devieranno dal suo percorso originale. Entrambi gli effetti devono essere presi in considerazione dai giocatori in sport come il golf.

Effetto Magnus

La rotazione della palla influenzerà la sua traiettoria attraverso l'effetto Magnus. Secondo il teorema di Kutta-Joukowski, per una sfera rotante con un flusso d'aria inviscido, la forza del Magnus è uguale a

FM = 83πr3ρωv, {\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho \ omega v,}

dove r è il raggio della palla, ω la velocità angolare (o velocità di rotazione) della palla, ρ la densità dell'aria e v la velocità della palla rispetto all'aria. Questa forza è diretta perpendicolare al moto e perpendicolare all'asse di rotazione (nella direzione di ω ^ × v ^ {\ displaystyle \ texttyle {\ hat {\ mathbf {\ omega}}} \ times {\ hat {\ mathbf {v}}}}). La forza è diretta verso l'alto per il backspin e verso il basso per il topspin. In realtà, il flusso non è mai invisibile e l'ascensore Magnus è meglio descritto da

FM = 12ρCLAv2, {\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {L}} Av ^ {2},}

dove ρ è la densità dell'aria, C L il coefficiente di portanza, A l'area della sezione trasversale della palla e v la velocità della palla rispetto all'aria. Il coefficiente di portanza è un fattore complesso che dipende tra l'altro dal rapporto / v , dal numero di Reynolds e dalla rugosità superficiale. In determinate condizioni, il coefficiente di portanza può anche essere negativo, cambiando la direzione della forza Magnus (effetto Magnus inverso).

In sport come il tennis o la pallavolo, il giocatore può utilizzare l'effetto Magnus per controllare la traiettoria della palla (ad es. Tramite topspin o backspin) durante il volo. Nel golf, l'effetto è responsabile dell'affettatura e dell'aggancio che di solito sono un danno per il golfista, ma aiuta anche ad aumentare il raggio di guida e altri colpi. Nel baseball, i lanciatori usano l'effetto per creare curve e altri lanci speciali.

La manomissione della palla è spesso illegale ed è spesso al centro di controversie sul cricket come quella tra Inghilterra e Pakistan nell'agosto 2006. Nel baseball, il termine "spitball" si riferisce al rivestimento illegale della palla con sputi o altre sostanze da alterare l'aerodinamica della palla.

galleggiabilità

Qualsiasi oggetto immerso in un fluido come acqua o aria subirà una spinta verso l'alto. Secondo il principio di Archimede, questa forza di galleggiamento è uguale al peso del fluido spostato dall'oggetto. Nel caso di una sfera, questa forza è uguale a

FB = 43πr3ρg. {\ Displaystyle F _ {\ text {B}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho g.}

La forza di galleggiamento è generalmente piccola rispetto alle forze di trascinamento e Magnus e può spesso essere trascurata. Tuttavia, nel caso di un pallone da basket, la forza di galleggiamento può ammontare a circa l'1,5% del peso della palla. Poiché la galleggiabilità è diretta verso l'alto, agirà per aumentare la portata e l'altezza della palla.

urto

Florian Korn (2013). "Palla che rimbalza al rallentatore: palla di gomma". Youtube.

Quando una palla colpisce una superficie, la superficie si riavvolge e vibra, così come la palla, creando sia suono che calore, e la palla perde energia cinetica. Inoltre, l'impatto può impartire una certa rotazione alla palla, trasferendo parte della sua energia cinetica traslazionale in energia cinetica rotazionale. Questa perdita di energia è solitamente caratterizzata (indirettamente) attraverso il coefficiente di restituzione (o COR, indicato con e ):

e = −vf − ufvi − ui, {\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}} - u _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}} - u _ {\ text {i}}}},}

dove v f e v i sono le velocità finali e iniziali della palla, e u f e u i sono le velocità finali e iniziali che incidono sulla superficie, rispettivamente. Nel caso specifico in cui una palla impatta su una superficie inamovibile, il COR si semplifica

e = −vfvi. {\ displaystyle e = - {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}}.}

Per una palla caduta contro un pavimento, il COR varierà quindi tra 0 (nessun rimbalzo, perdita totale di energia) e 1 (perfettamente rimbalzante, nessuna perdita di energia). Un valore COR inferiore a 0 o superiore a 1 è teoricamente possibile, ma indicherebbe che la palla ha attraversato la superficie ( e 0) o che la superficie non è stata "rilassata" quando la palla ha avuto un impatto ( e > 1), come in il caso di una pallina che atterra su una piattaforma caricata a molla.

Per analizzare le componenti verticali e orizzontali del movimento, il COR è talvolta suddiviso in un normale COR ( e y) e un COR tangenziale ( e x), definito come

ey = −vyf − uyfvyi − uyi, {\ displaystyle e _ {\ \ text {y}} = - {\ frac {v _ {\ text {yf}} - u _ {\ text {yf}}} {v _ {\ text { yi}} - u _ {\ text {yi}}}},} ex = - ((vxf − rωf) - (uxf − RΩf) (vxi − rωi) - (uxi − RΩi), {\ displaystyle e _ {\ text { x}} = - {\ frac {(v _ {\ text {xf}} - r \ omega _ {\ text {f}}) - (u _ {\ text {xf}} - R \ Omega _ {\ text { f}})} {(v _ {\ text {xi}} - r \ omega _ {\ text {i}}) - (u _ {\ text {xi}} - R \ Omega _ {\ text {i}} )}},}

dove r e ω indicano il raggio e la velocità angolare della palla, mentre R e Ω indicano il raggio e la velocità angolare della superficie di impatto (come una mazza da baseball). In particolare è la velocità tangenziale della superficie della palla, mentre è la velocità tangenziale della superficie di impatto. Questi sono particolarmente interessanti quando la palla colpisce la superficie con un angolo obliquo o quando è coinvolta la rotazione.

Per una caduta dritta sul terreno senza rotazione, con solo la forza di gravità che agisce sulla palla, il COR può essere correlato a diverse altre quantità:

e = | vfvi | = KfKi = UfUi = HfHi = TfTi = gTf28Hi. {\ displaystyle e = \ left | {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {K _ {\ text {f}}} {K _ {\ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {f}}} {U_ { \ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {H _ {\ text {f}}} {H _ {\ text {i}}}}} = {\ frac {T _ {\ text {f} }} {T _ {\ text {i}}}} = {\ sqrt {\ frac {gT _ {\ text {f}} ^ {2}} {8H _ {\ text {i}}}}}.}

Qui, K e U indicano l'energia cinetica e potenziale della palla, H è l'altezza massima della palla e T è il tempo di volo della palla. I segni 'i' e 'f' si riferiscono agli stati iniziale (prima dell'impatto) e finale (dopo l'impatto) della palla. Allo stesso modo, la perdita di energia all'impatto può essere correlata al COR entro il

Perdita di energia = Ki − KfKi × 100% = (1 − e2) × 100%. {\ Displaystyle {\ text {Perdita di energia}} = {\ frac {{K _ {\ text {i}}} - {K _ {\ text {f}}}} {K _ {\ text {i}}}} \ times 100 \% = \ left (1-e ^ {2} \ right) \ times 100 \%.}

Il COR di una palla può essere influenzato da diverse cose, principalmente

  • la natura della superficie di impatto (ad es. erba, cemento, rete metallica)
  • il materiale della palla (ad es. pelle, gomma, plastica)
  • la pressione all'interno della palla (se vuota)
  • la quantità di rotazione indotta nella palla all'impatto
  • la velocità di impatto

Condizioni esterne come la temperatura possono modificare le proprietà della superficie di impatto o della palla, rendendole più flessibili o più rigide. Ciò, a sua volta, influenzerà il Comitato. In generale, la palla si deformerà di più a velocità di impatto più elevate e di conseguenza perderà più energia, diminuendo il suo COR.

Rotazione e angolo di impatto

Al momento dell'impatto sul terreno, parte dell'energia cinetica traslazionale può essere convertita in energia cinetica rotazionale e viceversa a seconda dell'angolo di impatto della palla e della velocità angolare. Se la palla si muove orizzontalmente all'impatto, l'attrito avrà una componente "traslazionale" nella direzione opposta al movimento della palla. Nella figura, la palla si sta muovendo a destra , e quindi avrà una componente traslazionale di attrito che spinge la palla a sinistra . Inoltre, se la palla gira all'impatto, l'attrito avrà una componente "rotazionale" nella direzione opposta alla rotazione della palla. Nella figura, la palla gira in senso orario e il punto che colpisce il terreno si sposta a sinistra rispetto al centro di massa della palla. La componente rotazionale dell'attrito sta quindi spingendo la palla verso destra . A differenza della forza normale e della forza di gravità, queste forze di attrito eserciteranno una coppia sulla sfera e cambieranno la sua velocità angolare ( ω ).

Possono sorgere tre situazioni:

  1. Se una palla viene spinta in avanti con la rotazione all'indietro , l'attrito traslazionale e rotazionale agirà nelle stesse direzioni. La velocità angolare della palla sarà ridotta dopo l'impatto, così come la sua velocità orizzontale, e la palla viene spinta verso l'alto , forse anche superando la sua altezza originale. È anche possibile che la palla inizi a girare nella direzione opposta e addirittura rimbalzi all'indietro.
  2. Se una palla è spinto in avanti con topspin, l'atto attrito traslazionale e rotazionale agirà in direzioni opposte. Cosa succede esattamente dipende da quale dei due componenti domina.
    1. Se la palla gira molto più rapidamente di quanto si muovesse, l'attrito rotazionale dominerà. La velocità angolare della palla verrà ridotta dopo l'impatto, ma la sua velocità orizzontale verrà aumentata. La palla verrà spinta in avanti ma non supererà la sua altezza originale e continuerà a girare nella stessa direzione.
    2. Se la palla si sta muovendo molto più rapidamente di quanto stesse ruotando, l'attrito traslazionale dominerà. La velocità angolare della palla aumenterà dopo l'impatto, ma la sua velocità orizzontale diminuirà. La palla non supererà la sua altezza originale e continuerà a girare nella stessa direzione.

Se la superficie è inclinata di una certa quantità θ , l'intero diagramma verrebbe ruotato di θ , ma la forza di gravità rimarrebbe rivolta verso il basso (formando un angolo θ con la superficie). La gravità avrebbe quindi un componente parallelo alla superficie, che contribuirebbe all'attrito e quindi contribuire alla rotazione.

In sport con racchetta come ping-pong o racquetball, i giocatori esperti useranno lo spin (incluso il perno laterale) per modificare improvvisamente la direzione della palla quando colpisce la superficie, come il terreno o la racchetta dell'avversario.

Sfere non sferiche

Il rimbalzo di una palla di forma ovale (come quelli usati nel calcio gridiron o nel rugby) è generalmente molto meno prevedibile del rimbalzo di una palla sferica. A seconda dell'allineamento della palla all'impatto, la forza normale può agire in avanti o dietro il centro di massa della palla e l'attrito da terra dipenderà dall'allineamento della palla, nonché dalla sua rotazione, rotazione e velocità di impatto. Laddove le forze agiscono rispetto al baricentro della palla cambia mentre la palla rotola a terra, e tutte le forze possono esercitare una coppia sulla palla, inclusa la forza normale e la forza di gravità. Ciò può far rimbalzare la palla in avanti, rimbalzare indietro o lateralmente. Poiché è possibile trasferire parte dell'energia cinetica rotazionale in energia cinetica traslazionale, è anche possibile che il COR sia maggiore di 1 o che la velocità in avanti della palla aumenti all'impatto.

Sfere multiple impilate

Physics Girl (2015). "Stacked Drop Drop". Youtube.
striperfly2002 (2012). "Rilascio della palla al rallentatore". Youtube.

Una dimostrazione popolare prevede il rimbalzo di più palle impilate. Se una pallina da tennis viene impilata sopra una pallacanestro e le due vengono lasciate cadere allo stesso tempo, la pallina da tennis rimbalzerà molto più in alto rispetto a quella che avrebbe se fosse caduta da sola, anche superando l'altezza di rilascio originale. Il risultato è sorprendente in quanto apparentemente viola la conservazione dell'energia. Tuttavia, a un esame più attento, la pallacanestro non rimbalza più in alto che avrebbe se la pallina da tennis non fosse stata sopra di essa e ha trasferito parte della sua energia nella pallina da tennis, spingendola a un'altezza maggiore.

La solita spiegazione implica la considerazione di due impatti separati: il basket che colpisce con il pavimento, e poi il basket che colpisce con la palla da tennis. Supponendo collisioni perfettamente elastiche, il basket che colpisce il pavimento a 1 m / s rimbalzerebbe a 1 m / s. La pallina da tennis a 1 m / s avrebbe quindi una velocità di impatto relativa di 2 m / s, il che significa che rimbalzerebbe a 2 m / s rispetto al basket, o 3 m / s rispetto al pavimento, e triplicherà la sua velocità di rimbalzo rispetto all'impatto sul pavimento da solo. Ciò implica che la palla rimbalzerebbe a 9 volte la sua altezza originale. In realtà, a causa di collisioni anelastiche, la pallina da tennis aumenterà la sua velocità e l'altezza di rimbalzo di un fattore minore, ma rimbalzerà sempre più velocemente e più in alto di quanto avrebbe da sola.

Sebbene le ipotesi di impatti separati non siano effettivamente valide (le palle rimangono a stretto contatto l'una con l'altra durante la maggior parte dell'impatto), questo modello riprodurrà comunque risultati sperimentali con un buon accordo e viene spesso utilizzato per comprendere fenomeni più complessi come il collasso del nucleo di supernovae o manovre di fionda gravitazionale.

Regolamenti sportivi

Numerosi organi di governo dello sport regolano il rimbalzo di una palla in vari modi, alcuni diretti, altri indiretti.

  • AFL: regola la pressione relativa del pallone da calcio tra 62 kPa e 76 kPa.
  • FIBA: regola la pressione del manometro in modo che il basket rimbalzi tra 1200 mm e 1400 mm (parte superiore della palla) quando viene fatto cadere da un'altezza di 1800 mm (parte inferiore della palla). Ciò corrisponde all'incirca a un COR compreso tra 0,727 e 0,806.
  • FIFA: regola la pressione relativa del pallone da calcio tra 0,6 atm e 1,1 atm a livello del mare (da 61 a 111 kPa).
  • FIVB: regola la pressione del manometro della pallavolo tra 0,30 kgF / cm2 e 0,325 kgF / cm2 (da 29,4 a 31,9 kPa) per la pallavolo indoor e tra 0,175 kgF / cm2 e 0,225 kgF / cm2 (da 17,2 a 22,1 kPa) per la pallavolo da spiaggia .
  • ITF: regola l'altezza del rimbalzo della pallina da tennis quando viene lasciata cadere su un "blocco liscio, rigido e orizzontale di massa elevata". Sono ammessi diversi tipi di sfere per diversi tipi di superfici. Se lasciato cadere da un'altezza di 100 pollici (254 cm), il rimbalzo deve essere di 54–60 pollici (137-152 cm) per le palle di Tipo 1, 53–58 pollici (135-147 cm) per le palle di Tipo 2 e Tipo 3, e 48–53 in (122–135 cm) per le palle in alta quota. Ciò corrisponde approssimativamente a un COR di 0,735-0,775 (palla di tipo 1), 0,728-0,762 (palle di tipo 2 e 3) e 0,693-0,728 (palle di alta altitudine) quando lasciato cadere sulla superficie di prova.
  • ITTF: regola la superficie di gioco in modo che la pallina da ping pong rimbalzi di circa 23 cm quando viene lasciata cadere da un'altezza di 30 cm. Ciò corrisponde approssimativamente a un COR di circa 0,876 contro la superficie di gioco.
  • NBA: regola la pressione relativa del pallone da basket tra 7,5 e 8,5 psi (da 51,7 a 58,6 kPa).
  • NFL: regola la pressione relativa del football americano tra 12,5 e 13,5 psi (da 86 a 93 kPa).
  • R & A / USGA: limita direttamente il COR della pallina da golf, che non deve superare 0,83 nei confronti di una mazza da golf.

La pressione di un football americano era al centro della polemica sfigurata. Alcuni sport non regolano direttamente le proprietà di rimbalzo delle palline, ma specificano invece un metodo di costruzione. Nel baseball, l'introduzione di una palla a base di sughero ha contribuito a porre fine all'era della palla morta e innescare l'era della palla viva.